Ciao! Se sei qui, probabilmente ti trovi davanti a quella formula lunghissima con la radice quadrata e non sai bene cosa stia succedendo. A scuola ci insegnano a memoria: “Meno bi più o meno radice di…”. Ma cosa stiamo calcolando davvero?
Oggi su Pezzidimatematica smontiamo l’equazione di secondo grado per capire cosa c’entra con il disegno della parabola.
Ogni equazione del tipo:
$$ax^2+bx+c=0$$
Le equazione di secondo grado, in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero sono dette complete. Mentre equazioni, in cui uno tra i coefficienti b o c è assente sono dette incomplete.
Esempio di equazione di secondo grado completa:
$$x^2+5x-6=0$$
Esempio di equazione di secondo grado incompleta:
$$x^2+4=0$$
Per risolvere queste equazioni utilizziamo formula risolutiva equazioni di secondo grado:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
Sembra difficile, ma in realtà comanda tutto un solo pezzo: quello sotto la radice.
Il Delta o Discriminante
Il pezzo sotto radice si chiama Delta o Discriminante:
$$\Delta = b^2 – 4ac$$
In base al valore del discriminante e esistono 3 casi possibili:
| Diversi casi | Esempio | Soluzioni |
| $$\Delta>0$$ | $$\Delta = \sqrt{25 – 16}$$ $$\Delta = \sqrt{9}$$ | L’equazione ha due soluzioni, reali e distinte |
| $$\Delta=0$$ | $$\Delta = \sqrt{16 – 16}$$ $$\Delta = 0$$ | L’equazione ha due soluzioni coincidenti |
| $$\Delta<0$$ | $$\Delta = \sqrt{16-25}$$ $$\Delta= \sqrt{-9}$$ | L’equazione non ha soluzioni reali. |
Esempi di tutte le tipologie di esercizi:
- Primo caso discriminante>0
$$x^2+5x-6=0$$
$$a=1$$
$$b=5$$
$$c=-6$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(1)(-6)}}{2}$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – (-24)}}{2}$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2}$$
$$x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$$
$$x_1 = \frac{-5 – 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$
$$x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
2) Secondo caso discriminante=0
$$4x^2-12x+9=0$$
$$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 – 4(4)(9)}}{2(4)}$$
$$x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 144}}{8}$$
$$x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{8}$$
$$x_{1,2} = \frac{12}{8}$$
$$x = \frac{3}{2}$$
3) Terzo caso discriminante<0
$$x^2-2x+3=0$$
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 3$$
$$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(3)}}{2(1)}$$
$$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2}$$
$$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}$$
Il Discriminante è -8 (negativo).
Non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo nel campo dei numeri reali.
$$\text{L’equazione è impossibile in } \mathbb{R}$$